Comment tracer une équation quadratique : 10 étapes (avec des images)

2024 Auteur: Robert Blare | [email protected]. Dernière modifié: 2024-02-02 02:06

Lorsqu'elles sont représentées graphiquement, les équations quadratiques de la forme hache² + bx + c ou a(x - h)² + k donner une courbe en forme de U lisse ou une courbe en forme de U inversé appelée parabole. Représenter graphiquement une équation quadratique consiste à trouver son sommet, sa direction et, souvent, ses interceptions x et y. Dans le cas d'équations quadratiques relativement simples, il peut également suffire de brancher une plage de valeurs x et de tracer une courbe en fonction des points résultants. Voir l'étape 1 ci-dessous pour commencer.

Pas

Étape 1. Déterminez quelle forme d'équation quadratique vous avez

L'équation quadratique peut être écrite sous trois formes différentes: la forme standard, la forme du sommet et la forme quadratique. Vous pouvez utiliser l'une ou l'autre forme pour représenter graphiquement une équation quadratique; le processus de représentation graphique de chacun est légèrement différent. Si vous faites un problème de devoirs, vous recevrez généralement le problème sous l'une de ces deux formes - en d'autres termes, vous ne pourrez pas choisir, il est donc préférable de comprendre les deux. Les deux formes d'équation quadratique sont:

• Forme standard.

  Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit: f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro.

  Par exemple, deux équations quadratiques de forme standard sont f(x) = x² + 2x + 1 et f(x) = 9x² + 10x -8.

• Forme de sommet.

  Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit: f(x) = a(x - h)² + k où a, h et k sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro. La forme du sommet est ainsi nommée car h et k vous donnent directement le sommet (point central) de votre parabole au point (h, k).

  Deux équations de forme de sommet sont f(x) = 9(x - 4)² + 18 et -3(x - 5)² + 1

• Pour représenter graphiquement l'un ou l'autre de ces types d'équations, nous devons d'abord trouver le sommet de la parabole, qui est le point central (h, k) à la "pointe" de la courbe. Les coordonnées du sommet sous forme standard sont données par: h = -b/2a et k = f(h), tandis que sous forme de sommet, h et k sont spécifiés dans l'équation.

Étape 2. Définissez vos variables

Pour pouvoir résoudre un problème quadratique, les variables a, b et c (ou a, h et k) doivent généralement être définies. Un problème d'algèbre moyen vous donnera une équation quadratique avec les variables remplies, généralement sous forme standard, mais parfois sous forme de sommet.

• Par exemple, pour la forme standard de l'équation f(x) = 2x² +16x + 39, nous avons a = 2, b = 16 et c = 39.
• Pour l'équation de forme de sommet f(x) = 4(x - 5)² + 12, nous avons a = 4, h = 5 et k = 12.

Étape 3. Calculez h

Dans les équations sous forme de sommet, votre valeur pour h est déjà donnée, mais dans les équations sous forme standard, elle doit être calculée. Rappelez-vous que, pour les équations de forme standard, h = -b/2a.

• Dans notre exemple de formulaire standard (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). En résolvant, nous trouvons que h = - 4.
• Dans notre exemple de forme de sommet (f(x) = 4(x - 5)² + 12), on sait h = 5 sans faire de calcul.

Étape 4. Calculez k

Comme pour h, k est déjà connu sous forme d'équations de sommet. Pour les équations de forme standard, rappelez-vous que k = f(h). En d'autres termes, vous pouvez trouver k en remplaçant chaque instance de x dans votre équation par la valeur que vous venez de trouver pour h.

• Nous avons déterminé dans notre exemple de formulaire standard que h = -4. Pour trouver k, nous résolvons notre équation avec notre valeur pour h remplaçant x:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Étape 7.

• Dans notre exemple de forme de sommet, encore une fois, nous connaissons la valeur de k (qui est 12) sans avoir à faire de calcul.

Étape 5. Tracez votre sommet

Le sommet de votre parabole sera le point (h, k) - h spécifie la coordonnée x, tandis que k spécifie la coordonnée y. Le sommet est le point central de votre parabole - soit tout en bas d'un "U" ou tout en haut d'un "U" à l'envers. Connaître le sommet est une partie essentielle de la représentation graphique d'une parabole précise - souvent, dans les travaux scolaires, la spécification du sommet sera une partie obligatoire d'une question.

• Dans notre exemple de formulaire standard, notre sommet sera à (-4, 7). Ainsi, notre parabole culminera 4 espaces à gauche de 0 et 7 espaces au-dessus (0, 0). Nous devons tracer ce point sur notre graphique, en veillant à étiqueter les coordonnées.
• Dans notre exemple de forme de sommet, notre sommet est à (5, 12). Nous devrions tracer un point 5 espaces à droite et 12 espaces au-dessus (0, 0).

Étape 6. Dessinez l'axe de la parabole (facultatif)

L'axe de symétrie d'une parabole est la ligne passant par son milieu qui la divise parfaitement en deux. Sur cet axe, le côté gauche de la parabole reflétera le côté droit. Pour les quadratiques de la forme ax² + bx + c ou a(x - h)² + k, l'axe est une droite parallèle à l'axe y (c'est-à-dire parfaitement verticale) et passant par le sommet.

Dans le cas de notre exemple de formulaire standard, l'axe est une droite parallèle à l'axe des y et passant par le point (-4, 7). Bien que cela ne fasse pas partie de la parabole elle-même, marquer légèrement cette ligne sur votre graphique peut éventuellement vous aider à voir comment la parabole se courbe de manière symétrique

Étape 7. Trouvez le sens d'ouverture

Après avoir déterminé le sommet et l'axe de la parabole, il faut ensuite savoir si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Heureusement, c'est facile. Si "a" est positif, la parabole s'ouvrira vers le haut, tandis que si "a" est négatif, la parabole s'ouvrira vers le bas (c'est-à-dire qu'elle sera inversée.)

• Pour notre exemple de formulaire standard (f(x) = 2x² +16x + 39), nous savons que nous avons une parabole s'ouvrant vers le haut car, dans notre équation, a = 2 (positif).
• Pour notre exemple de forme de sommet (f(x) = 4(x - 5)² + 12), on sait qu'on a aussi une parabole s'ouvrant vers le haut car a = 4 (positif).

Étape 8. Si nécessaire, recherchez et tracez x interceptions

Souvent, sur le travail scolaire, on vous demandera de trouver les abscisses d'une parabole (qui sont soit un ou deux points où la parabole rencontre l'axe des x). Même si vous ne les trouvez pas, ces deux points peuvent être précieux pour dessiner une parabole précise. Cependant, toutes les paraboles n'ont pas d'abscisse. Si votre parabole a un sommet ouvert vers le haut et a un sommet au-dessus de l'axe x ou si elle s'ouvre vers le bas et a un sommet en dessous de l'axe x, il n'y aura pas d'interceptions x. Sinon, résolvez vos interceptions x avec l'une des méthodes suivantes:

• Fixez simplement f(x) = 0 et résolvez l'équation. Cette méthode peut fonctionner pour des équations quadratiques simples, en particulier sous forme de sommet, mais s'avérera extrêmement difficile pour les plus compliquées. Voir ci-dessous pour un exemple

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt(1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 et 13 sont les abscisses de la parabole.

• Factorisez votre équation. Quelques équations à la hache² La forme + bx + c peut être facilement factorisée sous la forme (dx + e)(fx +g), où dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, et e × g = c. Dans ce cas, vos interceptions x sont les valeurs de x qui font que l'un ou l'autre des termes entre parenthèses = 0. Par exemple:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • Dans ce cas, votre seule interception x est -1 car la définition de x égal à -1 rendra l'un des termes factorisés entre parenthèses égal à 0.

• Utilisez la formule quadratique. Si vous ne pouvez pas facilement résoudre vos interceptions x ou factoriser votre équation, utilisez une équation spéciale appelée formule quadratique conçue à cet effet. Si ce n'est pas déjà fait, mettez votre équation sous la forme hache² + bx + c, puis branchez a, b et c dans la formule x = (-b +/- SqRt(b² - 4ac))/2a. Notez que cela vous donne souvent deux réponses pour x, ce qui est OK - cela signifie simplement que votre parabole a deux interceptions x. Voir ci-dessous pour un exemple:

  • -5x² + 1x + 10 se branche dans la formule quadratique comme suit:
  • x = (-1 +/- SqRt(1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) et (-15,18/-10). Les interceptions x de la parabole sont approximativement à x = - 1.318 et 1.518
  • Notre précédent exemple de formulaire standard, 2x² + 16x + 39 se branche dans la formule quadratique comme suit:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
  • Parce que trouver la racine carrée d'un nombre négatif est impossible, nous savons que pas d'interceptions x existent pour cette parabole particulière.

Étape 9. Si nécessaire, recherchez et tracez l'intersection y

Bien qu'il ne soit souvent pas nécessaire de trouver l'intersection y d'une équation (le point auquel la parabole passe par l'axe y), vous pourriez éventuellement être obligé de le faire, surtout si vous êtes à l'école. Ce processus est assez simple - définissez simplement x = 0, puis résolvez votre équation pour f(x) ou y, ce qui vous donne la valeur y à laquelle votre parabole passe par l'axe y. Contrairement aux interceptions x, les paraboles standard ne peuvent avoir qu'une interception y. Remarque - pour les équations de forme standard, l'intersection y est à y = c.

• Par exemple, nous connaissons notre équation quadratique 2x² + 16x + 39 a une intersection y à y = 39, mais il peut également être trouvé comme suit:

  • f(x) = 2x² + 16x + 39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. L'intersection y de la parabole est à y = 39.

    Comme indiqué ci-dessus, l'intersection y est à y = c.

• Notre sommet forme l'équation 4(x - 5)² + 12 a une interception y qui peut être trouvée comme suit:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. L'intersection y de la parabole est à y = 112.

Étape 10. Si nécessaire, tracez des points supplémentaires, puis tracez un graphique

Vous devriez maintenant avoir un sommet, une direction, une (des) interception(s) x et, éventuellement, une interception y pour votre équation. À ce stade, vous pouvez soit essayer de dessiner votre parabole en utilisant les points que vous avez comme ligne directrice, soit trouver plus de points pour "remplir" votre parabole afin que la courbe que vous dessinez soit plus précise. Le moyen le plus simple de le faire est simplement de brancher quelques valeurs x de chaque côté de votre sommet, puis de tracer ces points en utilisant les valeurs y que vous obtenez. Souvent, les professeurs vous demanderont d'obtenir un certain nombre de points avant de tracer votre parabole.

• Reprenons l'équation x² + 2x + 1. Nous savons déjà que sa seule interception x est à x = -1. Parce qu'il ne touche l'intersection x qu'à un moment donné, nous pouvons en déduire que son sommet est son intersection x, ce qui signifie que son sommet est (-1, 0). Nous n'avons effectivement qu'un seul point pour cette parabole - pas assez pour dessiner une bonne parabole. Trouvons-en quelques autres pour nous assurer de tracer un graphique précis.

  • Trouvons les valeurs y pour les valeurs x suivantes: 0, 1, -2 et -3.
  • Pour 0: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Notre point est (0, 1).

  • Pour 1: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Notre argument est (1, 4).

  • Pour -2: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Notre point est (-2, 1).

  • Pour -3: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Notre point est (-3, 4).

  • Tracez ces points sur le graphique et tracez votre courbe en forme de U. Notez que la parabole est parfaitement symétrique - lorsque vos points d'un côté de la parabole reposent sur des nombres entiers, vous pouvez généralement vous épargner du travail en réfléchissant simplement un point donné sur l'axe de symétrie de la parabole pour trouver le point correspondant de l'autre côté de la parabole.

Vidéo - En utilisant ce service, certaines informations peuvent être partagées avec YouTube

Des astuces

• Notez que dans f(x) = ax² + bx + c, si b ou c égal à zéro, ces nombres disparaissent. Par exemple, 12x² + 0x + 6 devient 12x² + 6 car 0x est 0.
• Arrondissez les nombres ou utilisez des fractions selon les instructions de votre professeur d'algèbre. Cela vous aidera à représenter graphiquement correctement vos équations quadratiques.