Une parabole est un graphique d'une fonction quadratique et c'est une courbe en forme de "U" lisse. Les paraboles sont également symétriques, ce qui signifie qu'elles peuvent être pliées le long d'une ligne de sorte que tous les points d'un côté de la ligne de pli coïncident avec les points correspondants de l'autre côté de la ligne de pli. La ligne de pliage, appelée axe de symétrie, est la ligne verticale qui passe par le sommet. Tout point de la parabole est équidistant d'un point fixe (le foyer) et d'une droite fixe (la directrice). Afin de représenter graphiquement une parabole, vous devez trouver son sommet ainsi que plusieurs points de chaque côté du sommet afin de marquer le chemin parcouru par les points.
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Partie 1 sur 2: Représentation graphique d'une parabole
Étape 1. Comprendre les parties d'une parabole
Certaines informations peuvent vous être fournies avant de commencer, et connaître la terminologie vous aidera à éviter les étapes inutiles. Voici les parties de la parabole que vous devrez connaître:
- La mise au point. Un point fixe à l'intérieur de la parabole qui est utilisé pour la définition formelle de la courbe.
- La directrice. Une ligne droite fixe. La parabole est le lieu (série) de points dans lesquels un point donné est à égale distance du foyer et de la directrice. (Voir le schéma ci-dessus.)
- L'axe de symétrie. Il s'agit d'une ligne droite qui passe par le point de retournement (« sommet ») de la parabole et est à égale distance des points correspondants sur les deux bras de la parabole.
- Le sommet. Le point où l'axe de symétrie croise la parabole est appelé sommet de la parabole. Si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers la droite, le sommet est un point minimum de la courbe. S'il s'ouvre vers le bas ou vers la gauche, le sommet est un point maximum.
Étape 2. Connaître l'équation d'une parabole
L'équation générale d'une parabole est y = ax2+ bx + c. Elle peut aussi s'écrire sous la forme encore plus générale y = a(x – h)² + k, mais nous nous concentrerons ici sur la première forme de l'équation.
- Si le coefficient a dans l'équation est positif, la parabole s'ouvre vers le haut (dans une parabole orientée verticalement), comme la lettre « U », et son sommet est un point minimum. Si a est négatif, la parabole s'ouvre vers le bas et a un sommet à son point maximum. Si vous avez du mal à vous en souvenir, pensez-y de cette façon: une équation avec une valeur positive a ressemble à un sourire; une équation avec une valeur négative ressemble à un froncement de sourcils.
- Disons que vous avez l'équation suivante: y = 2x2 -1. Cette parabole aura la forme d'un "U" car la valeur a (2) est positive.
- Si l'équation a un terme y au carré au lieu d'un terme x au carré, la parabole sera orientée horizontalement et ouverte latéralement, à droite ou à gauche, comme un "C" ou un "C" vers l'arrière. Par exemple, la parabole y2 = x + 3 s'ouvre vers la droite, comme un "C."
Étape 3. Trouvez l'axe de symétrie
N'oubliez pas que l'axe de symétrie est la droite qui passe par le point tournant (sommet) de la parabole. Dans le cas d'une parabole verticale (ouverture vers le haut ou vers le bas), l'axe est le même que la coordonnée x du sommet, qui est la valeur x du point où l'axe de symétrie croise la parabole. Pour trouver l'axe de symétrie, utilisez cette formule: x = -b/2a.
- Dans l'exemple ci-dessus (y = 2x² -1), a = 2 et b = 0. Vous pouvez maintenant calculer l'axe de symétrie en insérant les nombres: x = -0 / (2)(2) = 0.
- Dans ce cas, l'axe de symétrie est x = 0 (qui est l'axe y du plan de coordonnées).
Étape 4. Trouvez le sommet
Une fois que vous connaissez l'axe de symétrie, vous pouvez brancher cette valeur pour x pour obtenir la coordonnée y. Ces deux coordonnées vous donneront le sommet de la parabole. Dans ce cas, vous brancheriez 0 à 2x2 -1 pour obtenir la coordonnée y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Le sommet est (0, -1) et la parabole croise l'axe des y à -1.
Les coordonnées du sommet sont parfois appelées (h, k). Dans ce cas, h vaut 0 et k vaut -1. L'équation de la parabole peut s'écrire sous la forme y = a(x – h)² + k. Sous cette forme, le sommet est le point (h, k), et vous n'avez pas besoin de faire de calcul pour trouver le sommet au-delà de l'interprétation correcte du graphique
Étape 5. Configurez une table avec les valeurs choisies de x
Créez un tableau avec des valeurs particulières de x dans la première colonne. Ce tableau vous donnera les coordonnées dont vous avez besoin pour représenter graphiquement l'équation.
- La valeur médiane de x doit être l'axe de symétrie dans le cas d'une parabole "verticale".
- Vous devez inclure au moins deux valeurs au-dessus et en dessous de la valeur médiane de x dans le tableau pour des raisons de symétrie.
- Dans cet exemple, placez la valeur de l'axe de symétrie (x = 0) au milieu du tableau.
Étape 6. Calculez les valeurs des coordonnées y correspondantes
Remplacez chaque valeur de x dans l'équation de la parabole et calculez les valeurs correspondantes de y. Insérez ces valeurs calculées de y dans le tableau. Dans cet exemple, les valeurs de y sont calculées comme suit:
- Pour x = -2, y est calculé comme: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Pour x = -1, y est calculé comme: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pour x = 0, y est calculé comme: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Pour x = 1, y est calculé comme: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Pour x = 2, y est calculé comme: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Étape 7. Insérez les valeurs calculées de y dans le tableau
Maintenant que vous avez trouvé au moins cinq paires de coordonnées pour la parabole, vous êtes presque prêt à la représenter graphiquement. Sur la base de votre travail, vous avez maintenant les points suivants: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Rappelez-vous que la parabole est réfléchie (symétrique) par rapport à l'axe de symétrie. Cela signifie que les coordonnées y des points situés directement à travers l'axe de symétrie les uns des autres seront les mêmes. Les coordonnées y pour les coordonnées x -2 et +2 sont toutes les deux 7; les coordonnées y pour les coordonnées x -1 et +1 sont toutes les deux 1, et ainsi de suite.
Étape 8. Tracez les points de la table sur le plan de coordonnées
Chaque ligne du tableau forme une paire de coordonnées (x, y) sur le plan de coordonnées. Représentez graphiquement tous les points en utilisant les coordonnées données dans le tableau.
- L'axe des x est horizontal; l'axe des y est vertical.
- Les nombres positifs sur l'axe des y sont au-dessus du point (0, 0) et les nombres négatifs sur l'axe des y sont en dessous du point (0, 0).
- Les nombres positifs sur l'axe des x sont à droite du point (0, 0) et les nombres négatifs sur l'axe des x sont à gauche du point (0, 0).
Étape 9. Connectez les points
Pour représenter graphiquement la parabole, connectez les points tracés à l'étape précédente. Le graphique de cet exemple ressemblera à un U. Connectez les points à l'aide de lignes légèrement incurvées (plutôt que droites). Cela créera l'image la plus précise de la parabole (qui est au moins légèrement incurvée sur toute sa longueur). Aux deux extrémités de la parabole, vous pouvez dessiner des flèches pointant loin du sommet si vous le souhaitez. Cela indiquera que la parabole continue indéfiniment.
Partie 2 sur 2: Déplacement du graphique d'une parabole
Si vous voulez un raccourci pour déplacer une parabole sans avoir à retrouver son sommet et à re-tracer plusieurs points dessus, vous devrez comprendre comment lire l'équation d'une parabole et apprendre à la déplacer verticalement ou horizontalement. Commencer par la parabole de base: y = x2. Celui-ci a son sommet à (0, 0) et s'ouvre vers le haut. Les points dessus incluent (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) et (2, 4). Vous pouvez déplacer une parabole en fonction de son équation.
Étape 1. Déplacez une parabole vers le haut
Considérons l'équation y = x2 +1. Cela déplace la parabole d'origine vers le haut d'une unité. Le sommet est maintenant (0, 1) au lieu de (0, 0). Il conservera la forme exacte de la parabole d'origine, mais chaque coordonnée y sera décalée d'une unité vers le haut. Ainsi, au lieu de (-1, 1) et (1, 1), nous traçons (-1, 2) et (1, 2).
Étape 2. Déplacez une parabole vers le bas
Prenons l'équation y = x2 -1. Nous déplaçons la parabole d'origine d'une unité vers le bas, de sorte que le sommet est maintenant (0, -1) au lieu de (0, 0). Elle aura toujours la même forme que la parabole d'origine, mais chaque coordonnée y sera décalée d'une unité vers le bas. Ainsi, au lieu de (-1, 1) et (1, 1), par exemple, nous traçons (-1, 0) et (1, 0).
Étape 3. Déplacez une parabole vers la gauche
Considérons l'équation y = (x + 1)2. Cela décale la parabole d'origine d'une unité vers la gauche. Le sommet est maintenant (-1, 0) au lieu de (0, 0). Il conserve la forme de la parabole d'origine, mais chaque coordonnée x est décalée d'une unité vers la gauche. Au lieu de (-1, 1) et (1, 1), par exemple, nous traçons (-2, 1) et (0, 1).
Étape 4. Déplacez une parabole vers la droite
Considérons l'équation y = (x - 1)2. Il s'agit de la parabole d'origine décalée d'une unité vers la droite. Le sommet est maintenant (1, 0) au lieu de (0, 0). Il conserve la forme de la parabole d'origine, mais chaque coordonnée x sera décalée d'une unité vers la droite. Au lieu de (-1, 1) et (1, 1), par exemple, nous traçons (0, 1) et (2, 1).
