Une fonction rationnelle est une équation qui prend la forme y = N(x)/D(x) où N et D sont des polynômes. Tenter d'esquisser un graphique précis à la main peut être un examen complet de bon nombre des sujets mathématiques les plus importants du secondaire, de l'algèbre de base au calcul différentiel. Considérons l'exemple suivant: y = (2 x 2 - 6x + 5)/(4x + 2).
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Étape 1. Trouvez l'interception y
Fixez simplement x = 0. Tout sauf les termes constants disparaissent, laissant y = 5/2. Exprimant cela comme une paire de coordonnées, (0, 5/2) est un point sur le graphique. Graphique ce point.
Étape 2. Trouvez l'asymptote horizontale
Divisez longuement le dénominateur dans le numérateur pour déterminer le comportement de y pour les grandes valeurs absolues de x. Dans cet exemple, la division montre que y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Pour les grandes valeurs positives ou négatives de x, 17/(8 x + 4) s'approche de zéro, et le graphique se rapproche de la ligne y = (1/2) x - (7/4). À l'aide d'une ligne pointillée ou légèrement dessinée, tracez le graphique de cette ligne.
- Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, il n'y a pas de division à faire et l'asymptote est y = 0.
- Si deg(N) = deg(D), l'asymptote est une ligne horizontale au rapport des coefficients dominants.
- Si deg(N) = deg(D) + 1, l'asymptote est une droite dont la pente est le rapport des coefficients dominants.
- Si deg(N) > deg(D) + 1, alors pour les grandes valeurs de | x |, y passe rapidement à l'infini positif ou négatif sous forme de polynôme quadratique, cubique ou de degré supérieur. Dans ce cas, il ne vaut probablement pas la peine de représenter graphiquement avec précision le quotient de la division.
Étape 3. Trouvez les zéros
Une fonction rationnelle a un zéro lorsque son numérateur est zéro, donc définissez N(x) = 0. Dans l'exemple, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Le discriminant de ce quadratique est b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Puisque le discriminant est négatif, N(x), et par conséquent f(x), n'a pas de racines réelles. Le graphique ne croise jamais l'axe des x. Si des zéros ont été trouvés, ajoutez ces points au graphique.
Étape 4. Trouvez les asymptotes verticales
Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur est zéro. Le réglage 4 x + 2 = 0 donne la ligne verticale x = -1/2. Représentez graphiquement chaque asymptote verticale avec une ligne claire ou en pointillé. Si une certaine valeur de x fait à la fois N(x) = 0 et D(x) = 0, il peut y avoir ou non une asymptote verticale. C'est rare, mais consultez les conseils pour y faire face si cela se produit.
Étape 5. Regardez le reste de la division à l'étape 2
Quand est-il positif, négatif ou nul ? Dans l'exemple, le numérateur du reste est 17 qui est toujours positif. Le dénominateur, 4 x + 2, est positif à droite de l'asymptote verticale et négatif à gauche. Cela signifie que le graphique se rapproche de l'asymptote linéaire du dessus pour les grandes valeurs positives de x et du dessous pour les grandes valeurs négatives de x. Puisque 17/(8 x + 4) ne peut jamais être nul, ce graphique ne coupe jamais la ligne y = (1/2) x - (7/4). N'ajoutez rien au graphique pour le moment, mais notez ces conclusions pour plus tard.
Étape 6. Trouvez l'extrema local
Un extremum local peut se produire chaque fois que N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. Dans l'exemple, N'(x) = 4 x - 6 et D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Développer, combiner des termes et diviser par 4 feuilles x 2 + x - 4 = 0. La formule quadratique montre les racines proches de x = 3/2 et x = -5/2. (Celles-ci diffèrent d'environ 0,06 des valeurs exactes, mais notre graphique ne sera pas assez précis pour s'inquiéter de ce niveau de détail. Choisir une approximation rationnelle décente facilite l'étape suivante.)
Étape 7. Trouvez les valeurs y de chaque extremum local
Rebranchez les valeurs x de l'étape précédente dans la fonction rationnelle d'origine pour trouver les valeurs y correspondantes. Dans l'exemple, f(3/2) = 1/16 et f(-5/2) = -65/16. Ajoutez ces points (3/2, 1/16) et (-5/2, -65/16) au graphique. Puisque nous avons fait une approximation à l'étape précédente, ce ne sont pas les minima et maxima exacts, mais ils sont probablement proches. (Nous savons que (3/2, 1/16) est très proche du minimum local. À partir de l'étape 3, nous savons que y est toujours positif lorsque x > -1/2 et nous avons trouvé une valeur aussi petite que 1/16, donc au moins dans ce cas, l'erreur est probablement inférieure à l'épaisseur de la ligne.)
Étape 8. Reliez les points et étendez doucement le graphique des points connus aux asymptotes en prenant soin de les approcher dans la bonne direction
Attention à ne pas croiser l'axe des abscisses sauf aux points déjà trouvés à l'étape 3. Ne croiser l'asymptote horizontale ou linéaire qu'aux points déjà trouvés à l'étape 5. Ne pas passer d'une pente ascendante à une pente descendante sauf à l'extrême trouvé à l'étape précédente.
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Des astuces
- Certaines de ces étapes peuvent impliquer la résolution d'un polynôme de haut degré. Si vous ne pouvez pas trouver de solutions exactes par factorisation, formules ou autres moyens, estimez les solutions à l'aide de techniques numériques telles que la méthode de Newton.
- Si vous suivez les étapes dans l'ordre, il n'est généralement pas nécessaire d'utiliser des tests de dérivée seconde ou des méthodes similaires potentiellement compliquées pour déterminer si les valeurs critiques sont des maxima locaux, des minima locaux ou aucun. Essayez d'abord d'utiliser les informations des étapes précédentes et un peu de logique.
- Si vous essayez de le faire uniquement avec des méthodes de précalcul, vous pouvez remplacer les étapes de recherche des extrema locaux en calculant plusieurs paires ordonnées supplémentaires (x, y) entre chaque paire d'asymptotes. Alternativement, si vous ne vous souciez pas de savoir pourquoi cela fonctionne, il n'y a aucune raison pour qu'un étudiant en précalcul ne puisse pas prendre la dérivée d'un polynôme et résoudre N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = 0.
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Dans de rares cas, le numérateur et le dénominateur peuvent avoir un facteur commun non constant. Si vous suivez les étapes, cela apparaîtra comme un zéro et une asymptote verticale au même endroit. C'est impossible et ce qui se passe réellement est l'un des suivants:
- Le zéro dans N(x) a une multiplicité plus élevée que le zéro dans D(x). Le graphique de f (x) tend vers zéro en ce point, mais n'y est pas défini. Indiquez-le avec un cercle ouvert autour du point.
- Le zéro dans le N(x) et le zéro dans D(x) ont une multiplicité égale. Le graphique approche d'un point non nul pour cette valeur de x, mais n'y est pas défini. Indiquez-le à nouveau avec un cercle vide.
- Le zéro dans le N(x) a une multiplicité plus faible que le zéro dans D(x). Il y a ici une asymptote verticale.
